他描述了矩阵乘法(他认为这是一种组合，所以他没有达到矩阵代数的概念)和矩阵的逆矩阵在二次型系数数组的特殊环境中。第一种中的两捆、第二种中的三捆和第三种中的一捆形成了34个。而第一种中的一捆、第二种中的两捆和第三种中的三捆构成了26个。
数学家是如何想到发明矩阵这种东西？
矩阵和行列式的起源可以追溯到公元前二世纪，也可以追溯到公元前四世纪。然而，直到17世纪末，这些思想才重新出现，发展才真正开始。 毫不奇怪，矩阵和行列式的起源应该是通过对线性方程组的研究而产生的。巴比伦人研究了导致联立线性方程的问题，其中一些问题保存在现存的粘土片中。例如，公元前300年左右的一个石板存在以下问题：有两块田，总面积为1800平方码。
人们以正常的速度生产谷物2/3 每平方码一蒲式耳，而另一方以正常的速度生产谷物 1/2 每平方码一蒲式耳。如果总产量是1100蒲式耳，每块地的大小是多少。公元前200年到公元前100年之间，中国人比巴比伦人更接近矩阵。的确，可以公平地说，汉代的《数学艺术九章》给出了已知的第一个矩阵方法的例子。首先是一个问题，它类似于上面给出的巴比伦的例子:玉米有三种，其中第一种三捆，第二种两捆，第三种一捆，共39个。
第一种中的两捆、第二种中的三捆和第三种中的一捆形成了34个。而第一种中的一捆、第二种中的两捆和第三种中的三捆构成了26个。每种类型的一捆玉米包含多少量？现在作者做了一件非常了不起的事情。他把三个未知数中的三个线性方程组的系数作为一张表放在“计数板上”。我们20世纪后期的方法会让我们把线性方程写成矩阵的行，而不是列，但当然方法是相同的。
最值得注意的是，作者在公元前200年写道，指示读者将中间的一列乘以3，并尽可能多地减去右边的一列，然后从第一列的3倍中减去右边的一列。莱布尼茨确信良好的数学符号是关键，因此他对系数系统进行了不同符号的实验。他未发表的手稿包含了他从1678年开始的50年间研究的50多种不同的系数系统的表达方法。莱布尼茨用“结果”这个词来表示行列式的某些组合的和。
他证明了关于结果的各种结果，包括克莱姆法则。他还知道行列式可以用任何列展开，也就是现在所说的拉普拉斯展开。莱布尼茨不仅研究导致他产生行列式的方程组，还研究自然产生矩阵理论的二次型方程组。17世纪30年代，麦克劳林写了《代数学论文》，尽管直到他去世两年后的1748年才出版。它包含了关于证明2 × 2和3 × 3系统的克莱姆法则的行列式的首次已发表的结果，并指出4 × 4的情况将如何工作。
“行列式”一词最早是由高斯在《算术研究》(1801)中讨论二次型时提出的。他使用这个术语是因为行列式决定了二次型的性质。然而这个概念和我们的行列式的概念不一样。在同一部作品中，高斯将二次型的系数排列成矩形阵列。他描述了矩阵乘法(他认为这是一种组合，所以他还没有达到矩阵代数的概念)和矩阵的逆矩阵在二次型系数数组的特殊环境中。
正是柯西在1812年使用了现代意义上的“行列式”。柯西的工作是关于行列式的早期工作中最完整的。他验证了早期的结果，并给出了自己关于最小矩阵和伴随矩阵的新结果。在1812年的论文中，第一次证明了行列式的乘法定理。雅克·斯特姆在求解常微分方程组的背景下给出了特征值问题的一个推广。事实上，特征值的概念早在80年前就出现了，同样是在线性微分方程系统的工作中，达朗贝尔研究了在不同点上附着质量的弦的运动。
凯莱也在1841年发表了他对行列式理论的第一篇英文贡献。在这篇论文中，他用数组两边的两条垂直线来表示行列式，这种符号现在已经成为标准。艾森斯坦在1844年用一个字母表示线性替换，并展示了如何像普通数字一样进行加法和乘法，除了缺乏交换性。公平地说，爱森斯坦是第一个认为线性替换形成代数的人，这可以从他1844年的论文中看到。
第一个使用“矩阵”一词的是1850年的西尔维斯特。西尔维斯特把矩阵定义为一个长方形的排列，并把它看作是从包含在其中的方阵中引出各种行列式的东西。弗罗贝纽斯在1878年写了一部关于矩阵的重要著作《论线性替换和双线性形式》，尽管他似乎没有意识到凯莱的工作。本文中的Frobenius处理的是形式系数，没有使用矩阵项。
